Математика. Ч. 2 (190,00 руб.)

Стр.2

Стр.3

Стр.4

Стр.5

Стр.6

УДК 519.2 Рекомендовано к изданию методическим советом ПГУТИ, протокол № 17, от 20.01.2017 г. Рецензент: Зав каф.ЭиА ПГУТИ , д.ф.-м.н, доцент, Клюев Д.С. Алашеева, Е. А. А Математика: учебное пособие / Е. А. Алашеева. – Самара: ПГУТИ, 2017. –166 с. математики, Учебное пособие «Математика. Часть 2» содержит такие разделы как функции многих переменных, интегрирование, дифференциальные уравнения, ряды, разработано в соответствии с ФГОС ВО по направлению подготовки 09.03.02 «Информационные системы и технологии» и предназначено для студентов 1 курса факультета ИСТ для самостоятельной подготовки. ISBN ©, Алашеева Е.А., 2017 2

Стр.2

Содержание Функции многих переменных ................................................................................ 7 Определение функции многих переменных...................................................... 7 Функции двух переменных ................................................................................. 7 Предел функции ................................................................................................... 8 Геометрическая интерпретация предела и свойства функции двух переменных ........................................................................................................... 9 Непрерывность функции двух переменных ...................................................... 9 Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области ....... 10 Частные производные первого порядка и их геометрический смысл .......... 11 Геометрический смысл частных производных функции двух переменных 13 Частные производные высших порядков ........................................................ 13 Дифференцируемость и полный дифференциал функции ............................ 14 Дифференциалы высших порядков .................................................................. 15 Производная сложной функции. Полная производная .................................. 16 Инвариантность формы полного дифференциала .......................................... 17 Дифференцирование неявной функции ........................................................... 18 Касательная плоскость и нормаль к поверхности .......................................... 19 Экстремум функции двух переменных ............................................................ 21 Необходимые и достаточные условия экстремума ........................................ 22 Задачи для самостоятельного решения ............................................................ 23 Контрольные вопросы ....................................................................................... 24 Неопределенный интеграл ................................................................................... 26 Первообразная, понятие неопределенного интеграла .................................... 26 Свойства неопределенного интеграла ............................................................. 28 Простейшие приемы интегрирования. Таблица интегралов ......................... 29 Метод замены переменной ................................................................................ 31 Метод интегрирования по частям .................................................................... 33 Интегрирование рациональных функций. Понятие о рациональных функциях ............................................................................................................. 35 Дробно-рациональная функция ........................................................................ 37 Интегрирование простейших рациональных дробей ..................................... 38 3

Стр.3

Интегрирование рациональных дробей ........................................................... 41 Интегрирование иррациональных выражений ............................................... 43 Интегрирование тригонометрических функций ............................................. 45 Тригонометрическая подстановка при интегрировании иррациональных функций ............................................................................................................... 47 Задачи для самостоятельного решения ............................................................ 48 Контрольные вопросы ....................................................................................... 49 Определенный интеграл ....................................................................................... 50 Определенный интеграл как предел интегральной суммы ........................... 50 Геометрический и физический смысл определенного интеграла ................. 52 Основные свойства определенного интеграла ................................................ 54 Формула Ньютона – Лейбница ......................................................................... 55 Интегрирование подстановкой (заменой переменной) .................................. 55 Интегрирование по частям ................................................................................ 56 Об интегралах, не выражающихся через элементарные функции ............... 57 Вычисление площадей плоских фигур в декартовых координатах, в полярных координатах ...................................................................................... 57 Вычисление длины дуги кривой ....................................................................... 62 Вычисление площадей поверхностей тел вращения ...................................... 64 Вычисление объемов тел ................................................................................... 65 Несобственные интегралы ................................................................................ 67 Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода) .................................................................................................. 67 Признаки сходимости неопределённого интеграла первого рода ................ 68 Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл II рода) ........... 69 Признаки сходимости для несобственных интегралов второго рода........... 70 Задачи для самостоятельного решения ............................................................ 70 Контрольные вопросы ....................................................................................... 72 Дифференциальные уравнения ............................................................................ 73 Дифференциальные уравнения первого порядка ........................................... 73 Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной ............................................................................... 74 4

Стр.4

Метод изоклин .................................................................................................... 75 Уравнения с разделяющимися переменными ................................................. 77 Уравнения, приводимые к уравнениям с разделяющимися переменными . 79 Однородные уравнения ..................................................................................... 80 Уравнение, приводящееся к однородному ...................................................... 83 Уравнения в полных дифференциалах ............................................................ 84 Линейные уравнения ......................................................................................... 86 Метод вариации постоянной ............................................................................. 87 Уравнение Бернулли .......................................................................................... 90 Метод Бернулли ................................................................................................. 91 Общие сведения о дифференциальных уравнениях высших порядков ....... 93 Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка ................................................................................................................ 95 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков ....................... 99 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами .............................. 100 Метод вариации постоянных нахождения частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения ................................................... 103 Метод подбора частного решения по виду правой части ............................ 106 Задачи для самостоятельного решения .......................................................... 111 Контрольные вопросы ..................................................................................... 113 Операционное исчисление ................................................................................. 115 Оригинал и изображение. Основные теоремы нахождения оригинала и изображения ...................................................................................................... 115 Основные свойства преобразования Лапласа ............................................... 118 Основные свойства преобразования Лапласа ............................................... 122 Формула обращения. Теоремы разложения .................................................. 130 Приложение операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем линейных дифференциальных уравнений ..................................................... 134 Решение линейных систем операционным методом .................................... 138 Задачи для самостоятельного решения .......................................................... 141 Контрольные вопросы ..................................................................................... 141 5

Стр.5

Ряды ...................................................................................................................... 142 Числовые ряды. ................................................................................................ 142 Ряды с положительными членами. ................................................................. 145 Знакопеременные ряды. .................................................................................. 149 Функциональные ряды .................................................................................... 151 Задачи для самостоятельного решения .......................................................... 153 Контрольные вопросы ..................................................................................... 154 Глоссарий ............................................................................................................. 155 Литература ........................................................................................................... 166 6

Стр.6