МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
РЯДЫ ФУРЬЕ
Учебно-методическое пособие
Составитель Куликов А.А.
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2014
1
Стр.1
Предисловие
Настоящее учебно-методическое пособие содержит введение в теорию
рядов Фурье в линейном пространстве со скалярным произведением, а также
в теорию тригонометрических рядов Фурье.
Пособие предназначено прежде всего для студентов 2 и 3 курсов факультета
прикладной математики, информатики и механики. Оно будет полезно
при проведении лекционных и практических занятий по дисциплинам
«Математический анализ» и «Уравнения математической физики».
В §§1 и 2 учебно-методического пособия приводится ряд важнейших
понятий теории линейных нормированных и полунормированных пространств
и линейных пространств со скалярным и полускалярным произведением.
Примеры указанных пространств приведены в § 3. В § 4 рассматриваются
вопросы сходимости последовательностей элементов и рядов в линейных
полунормированных пространствах. В § 5 изучаются ряды Фурье в
линейном пространстве со скалярным произведением. Показано, что частичные
суммы ряда Фурье осуществляют наилучшее приближение элементов
пространства линейными комбинациями конечного числа ортогональных
элементов из , и получены необходимые и достаточные условия
сходимости ряда Фурье. Приведены также понятия полной и замкнутой
систем элементов из . В § 6 в качестве важного для дальнейшего примера
линейного пространства со скалярным произведением рассмотрено пространство
кусочно-непрерывных на отрезке функций. Параграфы 7–12 содержат
введение в теорию тригонометрических рядов Фурье. Рассмотрены
вопросы сходимости в среднем тригонометрического ряда Фурье кусочнонепрерывной
на отрезке – , функции и приведены достаточные условия
абсолютной и равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье
функции, непрерывной на указанном отрезке. Доказана теорема о почленном
дифференцировании тригонометрического ряда Фурье и приведена
теорема о сходимости данного ряда в точках отрезка – , . Рассмотрены
также тригонометрические ряды Фурье в случае произвольного отрезка,
симметричного относительно начала координат, и разложение в ряд Фурье
четных и нечетных функций. Приведены примеры разложения в тригонометрический
ряд Фурье некоторых функций и задачи для самостоятельного
решения студентами.
3
Стр.3
го линейного пространства поставлено в соответствие вещественное число
,, называемое скалярным произведением и , так, что выполнены
следующие свойства (аксиомы):
любых вещественных чисел , ;
3. , 0;
4. Если , 0, то 0.
Тогда называется линейным пространством со скалярным произве1.
, , (свойство симметричности скалярного произведения);
2. , ,, для любых элементов ,, ∈ и
дением.
ливо равенство
Действительно,
, 0 0, 0∙ 0, 0∙ 0, 0.
Заметим, что из свойств 1 и 2 следует, что для любого ∈ справед,0
0.
в соответствие вещественное число ,, удовлетворяющее только аксиомам
1–3, то , называется полускалярным произведением и , а пространство
называется линейным пространством с полускалярным произведением.
О
п р е д е л е н и е 2. Если каждой паре элементов , ∈ поставлено
ем. Тогда для любых , ∈ справедливо неравенство
, , ∙ ,.
венного числа справедливо неравенство
, 0.
Рассмотрим следующие случаи.
1. Пусть , 0. Тогда
Неравенство (2.1) называется неравенством Коши-Буняковского.
Д о к а з а т е л ь с т в о
Т е о р е м а 1. Пусть – пространство с полускалярным произведени2.1
В
силу свойства 3 полускалярного произведения, для любого вещестПрименяя
свойства 1 и 2 полускалярного произведения, неравенство
(2.2) можно записать в виде
, 2, , 0.
Так как неравенство (2.4) должно выполняться при всех вещественных ,
то , 0. Действительно, если предположить, что , 0, то взяв
2,, 0.
,
,
6
2.4
2.3
2.2
§ 2. Линейные пространства со скалярным произведением
О п р е д е л е н и е 1. Пусть каждой паре элементов , вещественно
Стр.6
мы получили бы неравенство
, 0. Таким образом, в рассматриваемом случае , 0 и , 0
и неравенство (2.1) справедливо, так как обе его части обращаются в нуль.
с полускалярным произведением справедливо неравенство
, , ,.
Д о к а з а т е л ь с т в о
Применяя неравенство Коши-Буняковского, получим
, , 2, ,
, 2|,| , , 2,, ,
, ,
,
откуда следует неравенство (2.5).
Если – линейное пространство с полускалярным произведением и
каждому элементу ∈ поставить в соответствие вещественное число
‖‖ , ,
2.6
то величина ‖‖ будет удовлетворять всем свойствам полунормы. Действительно,
свойства 1 и 2 полунормы следуют из свойств 3 и 2 скалярного произведения,
а выполнение неравенства треугольника вытекает из неравенства
(2.5). Если же является линейным пространством со скалярным произведением,
то формула (2.6) задает норму в этом пространстве.
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Т е о р е м а 2. Каждое линейное пространство со скалярным (соответственно
полускалярным) произведением является нормированным (соответственно
полунормированным) пространством с нормой (соответственно
с полунормой), определяемой формулой (2.6).
О п р е д е л е н и е 3. Пусть – линейное пространство с полускалярмножество
индексов (конечное или бесконечное)) линейного пространства
с полускалярным произведением называется ортогональной, если каждые
ее два элемента ортогональны. Если, кроме того, норма любого ее элемента
равна 1, то она называется ортонормированной.
7
ным произведением. Элементы ∈ и ∈ называются ортогональными,
если , 0.
О п р е д е л е н и е 4. Система элементов , ∈ ( – некоторое
Таким образом, теорема доказана.
С л е д с т в и е. Для любых элементов , из линейного пространства
, , ∙ , 0.
2.5
С учетом свойства 3 скалярного произведения отсюда следует, что , 0.
Используя теперь неравенство (2.4) при 1 2⁄ и 1 2⁄ , получим, что
, 0.
ного относительно трехчлена в левой части неравенства (2.3) неположителен,
то есть
2. Пусть , 0. Тогда из (2.3) следует, что дискриминант квадрат
Стр.7
скалярным произведением ортогональна и ‖‖ 0 для всех ∈ , то она
линейно независима.
Л е м м а. Если система , ∈ элементов пространства с полуД
о к а з а т е л ь с т в о
числа ,… , , такие, что
Умножим скалярно обе части этого равенства на
(1 ). Тогда получим, что
Пусть для некоторых элементов
,
⋯
0,
так как в силу ортогональности системы
, ∈, 1,… , найдутся
0.
, где фиксировано
2.7
,0 для . Из условия
леммы следует, что , 0, поэтому из (2.7) получим, что
0, 1,…,. Это означает, что система , ∈ линейно независима.
Лемма доказана.
§ 3. Примеры линейных пространств со скалярным произведением
и линейных нормированных пространств
возможных упорядоченных наборов вещественных чисел ,… ,.
Пространство носит название п-мерного евклидова пространства. Элементы
,…, ∈ называются также точками или векторами этого
пространства. Число , 1 называется i-ой координатой точки
. Суммой элементов ,…, и ,… , называется
элемент
1. Пространство . Рассмотрим пространство , состоящее из всеа
произведением элемента на число – элемент
,…,.
,… ,
линейного пространства.
Базисом в пространстве является набор векторов
Роль нулевого элемента в играет вектор 0 0,…,0.
Очевидно, что для элементов пространства выполнены аксиомы
1,0,…,0, 0,1,…,0, … , 0,0,…,1. При этом для любого
∈ справедливо разложение
⋯.
при этом, очевидно, выполняются все аксиомы скалярного произведения.
Норма элемента ∈ определяется по формуле
Введем скалярное произведение элементов , ∈ по формуле
, ⋯;
8
Стр.8